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莫比乌斯反演
阅读量:234 次
发布时间:2019-03-01

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莫比乌斯函数线性筛:

const int maxm=1e6+5;int notprime[maxm];int prime[maxm],cnt;int mob[maxm];void Minit(){       mob[1]=1;    for(int i=2;i
=maxm)break; notprime[prime[j]*i]=1; mob[prime[j]*i]=i%prime[j]?-mob[i]:0; if(i%prime[j]==0)break; } }}

莫比乌斯函数性质:

μ是莫比乌斯函数

1.∑μ(d) = [n==1] (d|n,即d是n的因子)
2. ∑(μ(d)/d) = (ϕ(n)/n) (d|n,ϕ是欧拉函数),这个性质把莫比乌斯函数和欧拉函数联系起来了

莫比乌斯反演:

在这里插入图片描述

其他:

在这里插入图片描述


P2257 YY的GCD

题意:

给N,M,求有多少对1<=x<=N,1<=y<=M,满足gcd(x,y)=素数

思路:

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

code:

#include
using namespace std;const int maxm=1e7+5;int notprime[maxm];int prime[maxm],cnt;int mu[maxm];int f[maxm];long long sum[maxm];void init(){ //预处理莫比乌斯函数 mu[1]=1; for(int i=2;i
=maxm)break; notprime[prime[j]*i]=1; mu[prime[j]*i]=i%prime[j]?-mu[i]:0; if(i%prime[j]==0)break; } } //预处理sum[k]=∑mu(k/n) for(int j=0;j
>T; while(T--){ int n,m; cin>>n>>m; if(n>m)swap(n,m); long long ans=0; for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){ r=min(n/(n/l),m/(m/l)); ans+=(long long)(n/l)*(m/l)*(f[r]-f[l-1]); } cout<
<

P3455 [POI2007]ZAP-Queries

题意:

给a,b,d,问有多少组x,y,满足1<=x<=a,1<=y<=b,gcd(x,y)=d

思路:

在这里插入图片描述

图中第三行f(n)计算完之后
因为gcd(i,j)=k,gcd(i/k,j/k)=1,
那么问题就变为计算f(1),范围变为1<=x<=a/d,1<=y<=b/d,也就是图中的f(d)

code:

#include
using namespace std;const int maxm=5e4+5;int notprime[maxm];int prime[maxm],cnt;int mu[maxm];int sum[maxm];void init(){ mu[1]=1; for(int i=2;i
=maxm)break; notprime[prime[j]*i]=1; mu[prime[j]*i]=i%prime[j]?-mu[i]:0; if(i%prime[j]==0)break; } } for(int i=1;i
>T; while(T--){ int a,b,d; scanf("%d%d%d",&a,&b,&d); long long ans=0; int up=min(a/d,b/d); for(int l=1,r;l<=up;l=r+1){ r=min((a/d)/(a/d/l),(b/d)/(b/d/l)); ans+=(long long)(a/d/l)*(b/d/l)*(sum[r]-sum[l-1]); } printf("%lld\n",ans); } return 0;}

hdu1695 GCD

题意:

给a,b,c,d,k,问有多少组x,y,满足a<=x<=b,c<=y<=d,gcd(x,y)=k,数对(x,y)为无序对

爆炸a和c等于1,0<b,d<=1e5,0<=k<=1e5

思路:

和上一题一样,但是这题是无序对,需要去重

code:

#include
using namespace std;#define int long longconst int maxm=1e6+5;int notprime[maxm];int prime[maxm],cnt;int mob[maxm];void Minit(){ mob[1]=1; for(int i=2;i
=maxm)break; notprime[prime[j]*i]=1; mob[prime[j]*i]=i%prime[j]?-mob[i]:0; if(i%prime[j]==0)break; } } for(int i=1;i
m)swap(n,m);//令n<=m int ans=0; for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){ r=min(n/(n/l),m/(m/l)); ans+=(n/l)*(m/l)*(mob[r]-mob[l-1]); } //这题需要减掉重复的,因为题目的是无序对 int rep=0; for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){ //n<=m,只有小于等于的部分才可能重复,因此这里只考虑n不考虑m r=n/(n/l); rep+=(n/l)*(n/l)*(mob[r]-mob[l-1]); } return ans-rep/2;}signed main(){ Minit(); int T;cin>>T; signed cas=1; while(T--){ int a,b,c,d,k;cin>>a>>b>>c>>d>>k; int ans=solve(b,d,k); printf("Case %d: ",cas++); cout<
<

P2522 [HAOI2011]Problem b

题意:

给a,b,c,d,k,问有多少组x,y,满足a<=x<=b,c<=y<=d,gcd(x,y)=k

思路:

做过上一题 P3455 [POI2007]ZAP-Queries 的话就会发现那题就是a=1,c=1的情况

设f(A,B)是满足1<=x<=A,1<=y<=B,gcd(x,y)=k的数对数量
由容斥原理可得ans=f(b,d)-f(a-1,d)-f(b,c-1)+f(a-1,c-1)
式子的推导过程在上一题有了这里就不推了

code:

#include
using namespace std;const int maxm=5e4+5;int notprime[maxm];int prime[maxm],cnt;int mu[maxm];int sum[maxm];void init(){ mu[1]=1; for(int i=2;i
=maxm)break; notprime[prime[j]*i]=1; mu[prime[j]*i]=i%prime[j]?-mu[i]:0; if(i%prime[j]==0)break; } } for(int i=1;i
>T; while(T--){ int a,b,c,d,k; scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k); long long ans=ask(b,d,k)-ask(a-1,d,k)-ask(b,c-1,k)+ask(a-1,c-1,k); printf("%lld\n",ans); } return 0;}

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